Дубровин родился 1 августа 1939 года в Ряжске Рязанской области, в 1962 году он закончил ВГИК и начал работать в киностудии имени Довженко, переехав в Киев.
С 1979 года артист служил в Киевском театре-студии киноактера, а спустя двадцать лет – в 1999 году – вернулся в родной город Ряжск.
В фильме „Д'Артаньян и три мушкетёра“ (и двух его продолжениях) Юрий Дубровин сыграл королевского (а позднее кардинальского) камердинера Ла Шене — того самого, которого постоянно звал капризный Людовик XIII (Олег Табаков). Кроме того, на счету артиста не всегда большие роли в фильмах „Алые паруса“, „Живые и мёртвые“, „Освобождение“, „Проверка на дорогах“, „Как закалялась сталь“, „Короли и капуста“, „Дикая охота короля Стаха“, „Зелёный фургон“, „Капитан „Пилигрима“, „Даниил - князь Галицкий“, „Криминальный талант“, „Узник замка Иф“ и других.
В 2006 году во время съемок в Киеве Дубровин перенес два инсульта, и ему пришлось остаться в украинской столице, где за ним ухаживала бывшая жена.
С 2014 года актер переехал в Германию, где живет семья его сына Аркадия. Отмечается, что после перенесенных инсультов у него не восстановились левые рука и нога. При этом в 2016 году он снялся в короткометражном фильме „Недолёт“ — одной из первых работ своего внука, кинорежиссера Ивана Дубровина.
