Андрей Мягков родился в Ленинграде в 1938 году. В 1965-м он окончил Школу-студию МХАТ. После этого поступил в театр “Современник”, а в 1977-м году перешел в Московский художественный театр имени Чехова.

В кино Мягков дебютировал в 1965-м, исполнив главную роль в комедийном фильме Элема Климова “Похождения зубного врача” вместе с Алисой Фрейндлих.

Актер наиболее известен по главным ролям в картинах режиссера Эльдара Рязанова “Ирония судьбы, или С легким паром!” и “Служебный роман”. Также он снялся в его лентах “Гараж” и “Жестокий романс”. Помимо этого, Мягков сыграл в таких фильмах, как “Дни Турбиных”, “На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-Бич опять идут дожди”, “Послесловие”, “Надежда” и “Серебряные трубы”.

Звание народного артиста РСФСР актер получил в 1986 году. В мае 2019-го ему присвоили Орден “За заслуги перед Отечеством” III степени.